來源:iStructure微信公眾號
懸臂梁在端部集中力作用下的力流
在靜力學(xué)領(lǐng)域,結(jié)構(gòu)是要將力傳遞到目的地,即結(jié)構(gòu)工程師通過材料的組裝引導(dǎo)力流的傳遞。
力流從一個(gè)點(diǎn)傳遞到另一個(gè)點(diǎn),可選的路徑很多。那么,沿哪條路徑傳遞才是最優(yōu)的呢?或者怎樣判斷結(jié)構(gòu)效率的高低?這是本文要討論的問題。
首先看一個(gè)概念——“應(yīng)變能”。
應(yīng)變能
應(yīng)變能是什么?我們從兩個(gè)角度看。
從結(jié)構(gòu)外部看,外力所做的功以應(yīng)變能的形式存儲于結(jié)構(gòu)內(nèi),結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能等于外力與結(jié)構(gòu)變形的乘積。
式中:C為結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能;P為結(jié)構(gòu)所受外力;U為結(jié)構(gòu)在外力P處的變形。
(1)式可以寫為:
其中,1/U為結(jié)構(gòu)剛度,假設(shè)荷載是一個(gè)常量,則應(yīng)變能C越小,表示結(jié)構(gòu)的剛度越大。因此,在相同荷載下,應(yīng)變能最小表示該結(jié)構(gòu)剛度最大。
從結(jié)構(gòu)內(nèi)部看,應(yīng)變能是應(yīng)變能密度對體積的積分。
c為應(yīng)變能密度,應(yīng)變能密度定義如下:
式中:σ為應(yīng)力,ε為應(yīng)變,λ為應(yīng)力比。
式(3)可改寫為下式:
應(yīng)力比代表結(jié)構(gòu)的應(yīng)力水平,而結(jié)構(gòu)所用材料的體積即為結(jié)構(gòu)的材料用量。因此,由式(5)可見,應(yīng)變能反映的是應(yīng)力比水平與材料用量之間的一個(gè)關(guān)系。
在材料用量一定的情況下,結(jié)構(gòu)應(yīng)變能越小,表示應(yīng)力比水平越低;在應(yīng)力比水平一定的情況下,結(jié)構(gòu)應(yīng)變能越小,表示材料用量越低。
綜上所述,如果我們以材料的用量來評價(jià)結(jié)構(gòu)傳力效率(即荷載和邊界條件相同的情況下,材料用量少,結(jié)構(gòu)效率高;材料用量多,結(jié)構(gòu)效率低),那么“應(yīng)變能”可以作為結(jié)構(gòu)傳力效率的指標(biāo)。
應(yīng)變能作為結(jié)構(gòu)傳力效率指標(biāo)的前提條件
要得到上面的結(jié)論,須有以下兩條假定:
a)以上論斷都只有在應(yīng)力不超過材料彈性極限,以及不考慮幾何非線性、穩(wěn)定的前提下才能成立,也就是說,只適用于線彈性范圍之內(nèi)。
b)因?yàn)?/span>推導(dǎo)中采用應(yīng)力比λ表征了截面應(yīng)力水平,所以以上結(jié)論僅在截面應(yīng)力分布完全均勻(軸拉或軸壓)的情況下成立。
因?yàn)閷τ谑茌S力的構(gòu)件,應(yīng)力在截面上、軸力在桿件長度上都分布均勻。但是對于受彎構(gòu)件,應(yīng)力在截面上分布是不均勻的;而且在受橫向力彎曲時(shí),彎矩沿桿件長度的分布也并不均勻。
對于實(shí)際工程,由于需要考慮的因素非常多(比如建筑的功能、美觀要求),結(jié)構(gòu)工程師必須在某些地方進(jìn)行妥協(xié)。怎樣達(dá)到綜合效益的最佳,本文不作討論。
應(yīng)變能的概念分析
在式(5)的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步簡化公式。
假設(shè)結(jié)構(gòu)的每一根桿件應(yīng)力比均相同,即λ為定值。則式(5)可以簡化為下式。
由式(6)可知,應(yīng)變能C與應(yīng)力比的平方成正比,是一個(gè)標(biāo)量。因此,計(jì)算應(yīng)變能時(shí),力流不區(qū)分拉力還是壓力,均為正。
由V=∑A×L(A為橫截面面積,L為桿件長度)可得:
假設(shè)桿件均在同一應(yīng)力水平下(即應(yīng)力比相同),則桿件的軸力與橫截面面積成正比:
將式(8)代入式(7)中,則:
假設(shè)R為一定值:
將式(10)代入式(9)中,則:
式(11)的物理意義為:一個(gè)結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能與力流大小及力流走過的長度成正比。因此,傳力越直接,應(yīng)變能越小。
所以,力沿剛度最大的路徑傳遞,而力沿最短路徑傳遞是最有效率的。
討論
示例1:有兩根相互鉸接的二力桿,兩端是鉸接支座,假設(shè)結(jié)構(gòu)高度為H,H為常數(shù),θ作為變量,中間受到一個(gè)豎直向下的集中力F作用,如圖1所示。
圖1 二力桿示例計(jì)算簡圖
結(jié)構(gòu)應(yīng)變能:
單根桿件軸力:
單根桿件變形:
整個(gè)結(jié)構(gòu)應(yīng)變能:
所以,θ=90°時(shí),結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能最小,即可認(rèn)為此時(shí)結(jié)構(gòu)效率最高。
示例2:有兩根相互鉸接的二力桿,兩端是鉸接支座,支座間距為2L,假設(shè)L為常數(shù)(示例1中H為常量),θ為變量,中間受到一個(gè)豎直向下的集中力F作用,如圖2所示。
圖2 二力桿示例計(jì)算簡圖
結(jié)構(gòu)應(yīng)變能:
單根桿件軸力:
單根桿件變形:
整個(gè)結(jié)構(gòu)應(yīng)變能:
通過Matlab可以求出上式的最小正值。
假設(shè)
可得,函數(shù)的極值點(diǎn)為x=0.9553,對應(yīng)極值為f(x)=2.5981。函數(shù)圖形如圖3所示。
圖3 f(x)的函數(shù)圖形
綜上所述,θ=0.9553rad(54.762°)時(shí),結(jié)構(gòu)應(yīng)變能取得最小值。結(jié)構(gòu)效率是在θ=54.762°時(shí)最高。
那么問題來了,這是兩個(gè)形狀相同的結(jié)構(gòu),為什么根據(jù)應(yīng)變能判斷的結(jié)構(gòu)效率會不一樣?這個(gè)留給大家討論。下一篇小i會把自己的理解梳理出來,供大家討論。
概念性的小結(jié)
▲力沿剛度最大的路徑傳遞,但并不代表剛度最大的路徑結(jié)構(gòu)效率最高。最短的路徑才是力流傳遞是最有效率的,材料是最省的。
▲應(yīng)變能可以代表結(jié)構(gòu)的材料用量,因此結(jié)構(gòu)優(yōu)化中可以將它作為優(yōu)化指標(biāo)。關(guān)于結(jié)構(gòu)優(yōu)化的內(nèi)容在此不展開,會在以后的文章中論述。
結(jié)構(gòu)優(yōu)化解的多樣性
仍然使用經(jīng)典二力桿案例進(jìn)行分析。
示例:有兩根相互鉸接的二力桿,兩端是鉸接支座,支座間距為2L,假設(shè)L為常數(shù),θ為變量,中間受到一個(gè)豎直向下的集中力F作用,如圖1所示。
圖1 二力桿示例計(jì)算簡圖
單根桿件軸力:
單根桿件變形:
整個(gè)結(jié)構(gòu)應(yīng)變能:
1)截面為常量,應(yīng)力為變量
這個(gè)假定在上一篇示例中沒有明確,在此強(qiáng)調(diào)一下。如給您帶來困惑,表示歉意。則求解應(yīng)變能的極值就是求解以下函數(shù)的極值:
以上函數(shù)的極值點(diǎn)為x=0.955,對應(yīng)極值為f(x)=2.5981。
所以假設(shè)桿件截面不變,當(dāng)θ=54.76°時(shí),應(yīng)變能最低,結(jié)構(gòu)剛度最大。
2)應(yīng)力為常量,截面為變量
假設(shè)應(yīng)力為常量,那么截面積A就是一個(gè)隨θ變化的變量。
應(yīng)變能的表達(dá)式就要改寫為如下:
由上式可知,應(yīng)變能在θ=45°時(shí)最小。即控制桿件應(yīng)力水平相同,當(dāng)θ=45°時(shí),應(yīng)變能最低,結(jié)構(gòu)材料用量最小。
3)H為常量,L為變量
上一篇示例1)中已有推導(dǎo),在此僅給出結(jié)論。應(yīng)變能的表達(dá)式如下:
可見,應(yīng)變能在θ=90°時(shí)最小。所以,如果截面恒定,θ=90°時(shí)結(jié)構(gòu)剛度最大;如果應(yīng)力比恒定,θ=90°時(shí)材料用量最小。
以上都是以應(yīng)變能為優(yōu)化目標(biāo),但是當(dāng)約束條件不同時(shí),得到的結(jié)果不同。若進(jìn)一步改變優(yōu)化目標(biāo),看下優(yōu)化的結(jié)果是什么?
4)截面不變,考慮壓桿穩(wěn)定,以最大承載力為優(yōu)化目標(biāo)
首先歐拉公式為:
將桿件長度與L和θ的關(guān)系代入上式,可得:
進(jìn)而可以得到外力F與θ的關(guān)系:
由上式可知,θ=35.26°時(shí),相同的桿件截面可以承受最大的外力F。
可見,不同的約束條件、不同的優(yōu)化目標(biāo),得到的結(jié)構(gòu)形態(tài)都是不同的。小i在實(shí)際的優(yōu)化實(shí)踐中覺得,假定截面為常量進(jìn)行優(yōu)化比較可行。
比如在進(jìn)行形態(tài)優(yōu)化時(shí),將截面設(shè)定為常量將會減少非常多的優(yōu)化變量,這樣僅需將優(yōu)化變量設(shè)定為節(jié)點(diǎn)坐標(biāo),計(jì)算工作量大大下降。而這樣做可以得到一個(gè)相對較優(yōu)的解。下圖即為采用該種方法進(jìn)行形態(tài)優(yōu)化的一個(gè)示例。
結(jié)構(gòu)效率系數(shù)—結(jié)構(gòu)效率的另一個(gè)指標(biāo)
之前探討了應(yīng)變能作為作為結(jié)構(gòu)效率的評價(jià)指標(biāo),但是小i還想探討結(jié)構(gòu)效率的另一個(gè)指標(biāo),我稱之為“結(jié)構(gòu)效率系數(shù)”。這個(gè)指標(biāo)的物理意義存疑,但小i仍覺值得討論。
如果我們將結(jié)構(gòu)的傳力類比于“工作總量”和“工作時(shí)間”,我們是不是能夠?qū)⒔Y(jié)構(gòu)效率類比于“工作效率”呢?
“工作總量”——外力勢能(W)
我們將外力F與外力到傳力目的地的距離s的乘積定義為外力勢能W:
規(guī)定:支座位置為外力的勢能零點(diǎn)。
“結(jié)構(gòu)的工作時(shí)間”——結(jié)構(gòu)應(yīng)變能(C)
在應(yīng)力比水平相同的情況下,我們用應(yīng)變能的大小反映結(jié)構(gòu)傳遞外力所要耗費(fèi)的材料。
“工作效率”——結(jié)構(gòu)效率系數(shù)(μ)
結(jié)構(gòu)效率系數(shù)=外力勢能/結(jié)構(gòu)應(yīng)變能
μ=W/C
基于此,再看以下示例:有兩根相互鉸接的二力桿,兩端是鉸接支座,支座間距為2L,假設(shè)L為常數(shù),θ為變量,中間受到一個(gè)豎直向下的集中力F作用,如圖2所示。
圖2 二力桿示例計(jì)算簡圖
外力勢能:
結(jié)構(gòu)應(yīng)變能:
結(jié)構(gòu)效率系數(shù):
可見,不管是應(yīng)力比為常量還是截面面積為常量,都是θ=90°時(shí)結(jié)構(gòu)效率系數(shù)最高。
但是,θ=90°,外力勢能趨于無窮大,材料用量也趨于無窮大。
假設(shè)H為常量,L為變量
外力勢能:
W=FH(定值)
結(jié)構(gòu)應(yīng)變能:
結(jié)構(gòu)效率系數(shù):
由上式可得,θ=90°時(shí),結(jié)構(gòu)效率系數(shù)最大,同時(shí),結(jié)構(gòu)應(yīng)變能最小。
可見,如果以“結(jié)構(gòu)效率系數(shù)”為指標(biāo),則用應(yīng)變能優(yōu)化得到的不同解統(tǒng)一為一個(gè)解。關(guān)于這個(gè)指標(biāo)中的“外力勢能”,小i解釋不清。對于一根懸臂梁,在自由端作用一個(gè)集中力,外力勢能應(yīng)該是力與力臂的乘積。但通常我們認(rèn)為,力與力臂的乘積是力矩。雖然小i知道,力矩是矢量、勢能是標(biāo)量。但巧的是,他們的單位都是kN.m。所以,小i覺得這兩個(gè)物理量之間是不是統(tǒng)一的?但目前為止,還沒想通。如果您有想法,歡迎留言。
弗雷·奧托研究輕型結(jié)構(gòu)時(shí),也采用了類似的指標(biāo)來研究結(jié)構(gòu)的受力效率。他認(rèn)為“力臂、力傳遞距離、輸送能力等專業(yè)名詞,他們有著相同的基本意義”。有興趣的朋友可以查閱《輕型建筑與自然設(shè)計(jì)—弗雷·奧托作品全集》。
小結(jié)
▲力沿剛度最大的路徑傳遞,但并不代表剛度最大的路徑結(jié)構(gòu)效率最高。最短的路徑才是力流傳遞是最有效率的,材料是最省的或剛度是最大的。
▲應(yīng)變能可以一定程度代表結(jié)構(gòu)的材料用量和結(jié)構(gòu)剛度,因此結(jié)構(gòu)優(yōu)化中可以將它作為優(yōu)化指標(biāo),且建議實(shí)際優(yōu)化中假定截面是不變的。
▲不同的約束條件、不同的優(yōu)化目標(biāo)所導(dǎo)致的優(yōu)化結(jié)果可能不一樣。優(yōu)化得到的解往往是一個(gè)相對優(yōu)的解,而不是絕對最優(yōu)解。
▲介紹了一個(gè)概念“結(jié)構(gòu)效率系數(shù)”,這是一個(gè)有爭議的概念,且在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中暫時(shí)看不到應(yīng)用。